Mathematische Modelle sind Massenvernichtungswaffen

Im Jahr 2007 betrug der Gesamtwert einer exotischen Form der Finanzversicherung namens Credit Default Swap (CDS) erreichte 67 Billionen Dollar. Diese Zahl übertraf das globale BIP in diesem Jahr um etwa fünfzehn Prozent. Mit anderen Worten: Jemand auf den Finanzmärkten ging eine Wette ein, die größer war als der Wert aller in diesem Jahr auf der Welt produzierten Produkte. 

Worauf haben die Leute an der Wall Street gewettet? Wenn bestimmte Schachteln voller Finanzpyrotechnik namens Collateralized Debt Obligations (CDOs) explodieren werden. Um einen Betrag zu wetten, der größer ist als die Welt, erfordert der Versicherer ein hohes Maß an Sicherheit. 

Wodurch wurde diese Gewissheit gestützt? 

Eine Zauberformel namens Gaußsches Copula-Modell. Die CDO-Boxen enthielten die Hypotheken von Millionen von Amerikanern, und das Modell mit dem lustigen Namen schätzte die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass die Inhaber zweier beliebiger zufällig ausgewählter Hypotheken beide ihren Zahlungsverpflichtungen nicht nachkommen würden. 

Der Schlüsselfaktor dieser Zauberformel war der Gammakoeffizient, der anhand historischer Daten die Korrelation zwischen Hypothekenausfallraten in verschiedenen Teilen der USA berechnete. Diese Korrelation war während des größten Teils des 20. Jahrhunderts recht gering, da es kaum einen Grund gab, warum Hypotheken in Florida irgendwie mit Hypotheken in Kalifornien oder Washington in Verbindung stehen sollten.

Doch im Sommer 2006 begannen die Immobilienpreise in den gesamten USA zu fallen, und Millionen von Menschen mussten feststellen, dass ihre Häuser mehr schuldeten, als sie derzeit wert waren. In dieser Situation entschieden sich viele Amerikaner rationalerweise, ihre Hypotheken nicht zu bedienen. So stieg die Zahl der Hypotheken, mit denen sie ihre Schulden nicht begleichen konnten, im ganzen Land auf einmal dramatisch an. 

Der Gammakoeffizient in der Zauberformel sprang von vernachlässigbaren Werten auf eins und die Kisten mit CDOs explodierten auf einmal. Die Finanziers – die das gesamte BIP des Planeten darauf gewettet hatten, dass dies nicht passieren würde – verloren alle.

Diese ganze Wette, bei der ein paar Spekulanten den gesamten Planeten verloren, basierte auf einem mathematischen Modell, das seine Benutzer mit der Realität verwechselten. Die finanziellen Verluste, die sie verursachten, waren unbezahlbar, also blieb nur die Möglichkeit, dass der Staat dafür aufkam. Natürlich hatten die Staaten auch nicht gerade ein zusätzliches globales BIP, also taten sie, was sie normalerweise tun – sie fügten diese unbezahlbaren Schulden der langen Liste unbezahlbarer Schulden hinzu, die sie zuvor gemacht hatten. Eine einzige Formel, die im ASCII-Code kaum 40 Zeichen umfasst, erhöhte die Gesamtverschuldung der „entwickelten“ Welt dramatisch um Dutzende Prozent des BIP. Es war wahrscheinlich die teuerste Formel in der Geschichte der Menschheit.

Nach diesem Fiasko hätte man eigentlich annehmen können, dass die Menschen den Vorhersagen verschiedener mathematischer Modelle mehr Aufmerksamkeit schenken würden. Tatsächlich geschah das Gegenteil. Im Herbst 2019 begann sich von Wuhan in China aus ein Virus auszubreiten, das nach seinen älteren Geschwistern SARS-CoV-2 benannt wurde. Seine älteren Geschwister waren ziemlich fies, sodass Anfang 2020 die ganze Welt in Panik geriet.

Wenn die Sterblichkeitsrate des neuen Virus mit der seiner älteren Geschwister vergleichbar wäre, könnte die Zivilisation tatsächlich zusammenbrechen. Und genau in diesem Moment zweifelhafte akademische Charaktere tauchten überall auf der Welt mit ihren bevorzugten mathematischen Modellen auf und begannen, wilde Vorhersagen in die Öffentlichkeit zu bringen. 

Journalisten gingen die Vorhersagen durch, wählten zielsicher nur die apokalyptischsten aus und begannen, sie den verwirrten Politikern mit dramatischer Stimme vorzutragen. Im darauffolgenden „Kampf gegen das Virus“ ging jede kritische Diskussion über die Natur mathematischer Modelle, ihre Annahmen, ihre Validierung, das Risiko der Überanpassung und insbesondere die Quantifizierung der Unsicherheit völlig verloren.

Die meisten mathematischen Modelle, die aus der Wissenschaft kamen, waren mehr oder weniger komplexe Versionen eines naiven Spiels namens SIR. Diese drei Buchstaben stehen für Susceptible–Infected–Recovered und stammen aus dem frühen 20. Jahrhundert, als man dank fehlender Computer nur die einfachsten Differentialgleichungen lösen konnte. SIR-Modelle behandeln Menschen als farbige Bälle, die in einem gut durchmischten Behälter schwimmen und gegeneinander stoßen. 

Wenn rote (infizierte) und grüne (anfällige) Bälle kollidieren, entstehen zwei rote. Jeder rote (infizierte) wird nach einiger Zeit schwarz (genesen) und bemerkt die anderen nicht mehr. Und das ist alles. Das Modell erfasst nicht einmal in irgendeiner Weise den Raum – es gibt weder Städte noch Dörfer. Dieses völlig naive Modell erzeugt immer (höchstens) eine Ansteckungswelle, die mit der Zeit abklingt und für immer verschwindet.

Und genau in diesem Moment machten die Kapitäne der Coronavirus-Reaktion den gleichen Fehler wie die Banker vor fünfzehn Jahren: Sie verwechselten das Modell mit der Realität. Die „Experten“ betrachteten das Modell, das eine einzige Infektionswelle zeigte, aber in Wirklichkeit, folgte eine Welle der anderen. Anstatt aus dieser Diskrepanz zwischen Modell und Realität die richtige Schlussfolgerung zu ziehen – dass diese Modelle nutzlos sind – begannen sie zu phantasieren, dass die Realität aufgrund der „Auswirkungen der Interventionen“, mit denen sie die Epidemie „bewältigten“, von den Modellen abweicht. Es war die Rede von einer „vorzeitigen Lockerung“ der Maßnahmen und anderen meist theologischen Konzepten. Verständlicherweise gab es in der Wissenschaft viele Opportunisten, die mit fabrizierte Artikel über die Wirkung von Interventionen.

In der Zwischenzeit tat das Virus sein Ding und ignorierte die mathematischen Modelle. Kaum jemand bemerkte es, aber während der gesamten Epidemie gelang es keinem einzigen mathematischen Modell, den Höhepunkt der aktuellen Welle oder den Beginn der nächsten Welle (zumindest annähernd) vorherzusagen. 

Anders als Gaussian Copula-Modelle, die – abgesehen von ihrem komischen Namen – zumindest bei steigenden Immobilienpreisen funktionierten, hatten SIR-Modelle von Anfang an keinerlei Bezug zur Realität. Später begannen einige ihrer Autoren, die Modelle nachträglich so anzupassen, dass sie historischen Daten entsprachen, und verwirrten damit die nicht-mathematisch bewanderte Öffentlichkeit völlig, die normalerweise nicht zwischen einem ex-post angepassten Modell (bei dem reale historische Daten durch Anpassung der Modellparameter gut angepasst werden) und einer echten ex-ante-Vorhersage für die Zukunft unterscheidet. Wie Yogi Berra es ausdrücken würde: Es ist schwierig, Vorhersagen zu treffen, insbesondere über die Zukunft.

Während während der Finanzkrise der Missbrauch mathematischer Modelle vor allem wirtschaftliche Schäden anrichtete, ging es während der Epidemie nicht mehr nur ums Geld. Auf der Grundlage unsinniger Modelle wurden alle möglichen „Maßnahmen“ ergriffen, die der psychischen oder physischen Gesundheit vieler Menschen schadeten.

Dennoch hatte dieser globale Verlust an Urteilsvermögen einen positiven Effekt: Das Bewusstsein für den potenziellen Schaden, den mathematische Modelle anrichten, verbreitete sich von einigen akademischen Stellen in breite öffentliche Kreise. Während das Konzept eines „mathematischen Modells“ vor einigen Jahren noch von religiöser Ehrfurcht umhüllt war, sank das Vertrauen der Öffentlichkeit in die Fähigkeit von „Experten“, irgendetwas vorherzusagen, nach drei Jahren der Epidemie auf Null. 

Darüber hinaus haben nicht nur die Modelle versagt, sondern auch ein großer Teil der akademischen und wissenschaftlichen Gemeinschaft. Anstatt einen vorsichtigen und skeptischen, evidenzbasierten Ansatz zu fördern, wurden sie zu Cheerleadern für viele Dummheiten, mit denen die politischen Entscheidungsträger aufwarteten. Der Verlust des öffentlichen Vertrauens in die zeitgenössische Wissenschaft, Medizin und ihre Vertreter wird wahrscheinlich die schwerwiegendste Folge der Epidemie sein.

Damit kommen wir zu anderen mathematischen Modellen, deren Folgen weitaus zerstörerischer sein können als alles, was wir bisher beschrieben haben. Dabei handelt es sich natürlich um Klimamodelle. Die Diskussion über den „globalen Klimawandel“ kann in drei Teile gegliedert werden.

1. Die tatsächliche Entwicklung der Temperatur auf unserem Planeten. In den letzten Jahrzehnten haben wir von vielen Orten auf dem Planeten einigermaßen genaue und stabile direkte Messungen erhalten. Je weiter wir in die Vergangenheit vordringen, desto mehr müssen wir uns auf verschiedene Methoden zur Temperaturrekonstruktion verlassen, und die Unsicherheit wächst. Es können auch Zweifel aufkommen hinsichtlich was Die Temperatur ist eigentlich das Thema der Diskussion: Die Temperatur ändert sich ständig in Raum und Zeit, und es ist sehr wichtig, wie die einzelnen Messungen zu einem „globalen“ Wert kombiniert werden. Da eine „globale Temperatur“ – wie auch immer definiert – Ausdruck eines komplexen dynamischen Systems ist, das weit vom thermodynamischen Gleichgewicht entfernt ist, ist es völlig unmöglich, dass sie konstant ist. Es gibt also nur zwei Möglichkeiten: Zu jedem Zeitpunkt seit der Entstehung des Planeten Erde ist die „globale Temperatur“ entweder gestiegen oder gefallen. Es besteht allgemein Einigkeit darüber, dass es im 20. Jahrhundert eine allgemeine Erwärmung gegeben hat, obwohl die geografischen Unterschiede erheblich größer sind, als normalerweise anerkannt wird. Eine detailliertere Diskussion dieses Punktes ist nicht Gegenstand dieses Aufsatzes, da er nicht direkt mit mathematischen Modellen zusammenhängt.

2. Die Hypothese, dass ein Anstieg der CO2-Konzentration zu einem Anstieg der globalen Temperaturen führt. Dies ist eine legitime wissenschaftliche Hypothese; der Beweis für diese Hypothese erfordert jedoch mehr mathematische Modellierung, als Sie vielleicht denken. Daher werden wir diesen Punkt weiter unten ausführlicher behandeln.

3. Die Rationalität der verschiedenen „Maßnahmen“, die Politiker und Aktivisten vorschlagen, um den globalen Klimawandel zu verhindern oder zumindest seine Auswirkungen zu mildern. Auch dieser Punkt ist nicht der Schwerpunkt dieses Aufsatzes, aber es ist wichtig festzustellen, dass viele der vorgeschlagenen (und manchmal bereits umgesetzten) „Maßnahmen“ zum Klimawandel um Größenordnungen dramatischere Folgen haben werden als alles, was wir während der Covid-Epidemie getan haben. Lassen Sie uns vor diesem Hintergrund sehen, wie viel mathematische Modellierung wir benötigen, um Hypothese 2 zu stützen.

Auf den ersten Blick sind keine Modelle erforderlich, da der Mechanismus, durch den CO2 den Planeten erwärmt, seit Joseph Fourier, der ihn erstmals beschrieb, gut verstanden ist. In Grundschulbüchern zeichnen wir ein Bild von einem Gewächshaus, auf das die Sonne herablächelt. Kurzwellige Sonnenstrahlung dringt durch das Glas und erwärmt das Innere des Gewächshauses, aber langwellige Strahlung (die vom erwärmten Inneren des Gewächshauses abgegeben wird) kann nicht durch das Glas entweichen und hält das Gewächshaus somit warm. Kohlendioxid, liebe Kinder, spielt in unserer Atmosphäre eine ähnliche Rolle wie das Glas im Gewächshaus.

Diese „Erklärung“, nach der der gesamte Treibhauseffekt benannt ist und die wir als „Treibhauseffekt für den Kindergarten“ bezeichnen, hat ein kleines Problem: Sie ist völlig falsch. Das Gewächshaus hält aus einem ganz anderen Grund warm. Die Glashülle verhindert Konvektion – warme Luft kann nicht aufsteigen und die Wärme abtransportieren. Diese Tatsache wurde bereits zu Beginn des 20. Jahrhunderts experimentell nachgewiesen, indem man ein identisches Gewächshaus baute, allerdings aus einem für Infrarotstrahlung durchlässigen Material. Der Temperaturunterschied im Inneren der beiden Gewächshäuser war vernachlässigbar.

OK, Gewächshäuser sind nicht warm aufgrund des Treibhauseffekts (um verschiedene Faktenprüfer zu beschwichtigen, kann diese Tatsache gefunden bei Wikipedia). Das heißt aber nicht, dass Kohlendioxid keine Infrarotstrahlung absorbiert und sich in der Atmosphäre nicht so verhält, wie wir uns Glas in einem Treibhaus vorstellen. Kohlendioxid absorbiert Strahlung in mehreren Wellenlängenbändern. Wasserdampf, Methan und andere Gase haben ebenfalls diese Eigenschaft. Der Treibhauseffekt (fälschlicherweise nach dem Treibhaus benannt) ist eine sicher nachgewiesene experimentelle Tatsache, und ohne Treibhausgase wäre die Erde erheblich kälter.

Daraus folgt logisch, dass bei steigender CO2-Konzentration in der Atmosphäre die CO2-Moleküle noch mehr Infrarotphotonen einfangen, die daher nicht in den Weltraum entweichen können, und die Temperatur des Planeten weiter ansteigen wird. Die meisten Menschen geben sich mit dieser Erklärung zufrieden und betrachten die Hypothese aus Punkt 2 weiterhin als bewiesen. Wir nennen diese Version der Geschichte den „Treibhauseffekt für philosophische Fakultäten“. 

Das Problem besteht natürlich darin, dass sich bereits so viel Kohlendioxid (und andere Treibhausgase) in der Atmosphäre befindet, dass kein Photon mit der entsprechenden Frequenz eine Chance hat, aus der Atmosphäre zu entweichen, ohne von irgendeinem Treibhausgasmolekül absorbiert und viele Male wieder emittiert zu werden. 

Eine gewisse Zunahme der Absorption von Infrarotstrahlung durch höhere CO2-Konzentrationen kann also nur an den Rändern der jeweiligen Absorptionsbänder auftreten. Mit diesem – unter Politikern und Journalisten freilich wenig verbreiteten – Wissen ist nicht mehr klar, warum eine Erhöhung der CO2-Konzentration zu einem Temperaturanstieg führen soll.

In Wirklichkeit ist die Situation jedoch noch komplizierter, und deshalb ist es notwendig, eine andere Version der Erklärung zu finden, die wir den „Treibhauseffekt für naturwissenschaftliche Fakultäten“ nennen. Diese Version für Erwachsene lautet wie folgt: Der Prozess der Absorption und Wiederemission von Photonen findet in allen Schichten der Atmosphäre statt, und die Atome der Treibhausgase „reichen“ Photonen von einem zum anderen, bis schließlich eines der irgendwo in der oberen Schicht der Atmosphäre emittierten Photonen in den Weltraum entweicht. Die Konzentration der Treibhausgase nimmt natürlich mit zunehmender Höhe ab. Wenn wir also ein wenig CO2 hinzufügen, verschiebt sich die Höhe, aus der Photonen bereits in den Weltraum entweichen können, ein wenig nach oben. Und da es umso kälter wird, je höher wir kommen, tragen die dort emittierten Photonen weniger Energie weg, was dazu führt, dass mehr Energie in der Atmosphäre verbleibt und der Planet wärmer wird.

Beachten Sie, dass die ursprüngliche Version mit der lächelnden Sonne über dem Gewächshaus etwas komplizierter geworden ist. Manche Leute fangen an, sich an dieser Stelle am Kopf zu kratzen und sich zu fragen, ob die obige Erklärung wirklich so klar ist. Wenn die CO2-Konzentration zunimmt, entweichen vielleicht „kühlere“ Photonen in den Weltraum (weil der Ort ihrer Emission nach oben wandert), aber entweichen nicht mehr von ihnen (weil der Radius zunimmt)? Sollte es in der oberen Atmosphäre nicht zu einer stärkeren Erwärmung kommen? Ist die Temperaturinversion bei dieser Erklärung nicht wichtig? Wir wissen, dass die Temperatur ab etwa 12 Kilometern Höhe wieder zu steigen beginnt. Ist es wirklich möglich, bei dieser Erklärung alle Konvektion und Niederschläge zu vernachlässigen? Wir wissen, dass diese Prozesse enorme Wärmemengen übertragen. Was ist mit positiven und negativen Rückkopplungen? Und so weiter und so fort.

Je mehr man fragt, desto mehr stellt man fest, dass die Antworten nicht direkt beobachtbar sind, sondern auf mathematischen Modellen beruhen. Die Modelle enthalten eine Reihe experimentell (das heißt mit einem gewissen Fehler) gemessener Parameter; zum Beispiel das Spektrum der Lichtabsorption in CO2 (und allen anderen Treibhausgasen), seine Abhängigkeit von der Konzentration oder ein detailliertes Temperaturprofil der Atmosphäre. 

Dies führt uns zu einer radikalen Aussage: Für die Hypothese, dass ein Anstieg der Kohlendioxidkonzentration in der Atmosphäre zu einem Anstieg der globalen Temperatur führt, gibt es keine leicht und verständlich erklärbare physikalische Begründung, die für eine Person mit einer normalen Universitätsausbildung im technischen oder naturwissenschaftlichen Bereich klar wäre. Diese Hypothese wird letztendlich durch mathematische Modelle gestützt, die einige der vielen komplizierten Prozesse in der Atmosphäre mehr oder weniger genau erfassen.

Dies wirft jedoch ein völlig anderes Licht auf das gesamte Problem. Im Kontext der dramatischen Fehler mathematischer Modellierung in der jüngsten Vergangenheit verdient der „Treibhauseffekt“ viel mehr Aufmerksamkeit. Wir haben während der Covid-Krise oft die Behauptung gehört, dass „die Wissenschaft sich einig ist“, und viele Vorhersagen, die sich später als völlig absurd herausstellten, beruhten auf „wissenschaftlichem Konsens“. 

Fast jede wichtige wissenschaftliche Entdeckung begann als einsame Stimme, die sich gegen den wissenschaftlichen Konsens der Zeit stellte. Konsens bedeutet in der Wissenschaft nicht viel – Wissenschaft basiert auf der sorgfältigen Widerlegung von Hypothesen durch ordnungsgemäß durchgeführte Experimente und ordnungsgemäß ausgewertete Daten. Die Anzahl der Fälle wissenschaftlichen Konsenses in der Vergangenheit entspricht im Grunde der Anzahl wissenschaftlicher Fehler in der Vergangenheit.

Mathematische Modelle sind gute Diener, aber schlechte Meister. Die Hypothese, dass der globale Klimawandel durch die steigende CO2-Konzentration in der Atmosphäre verursacht wird, ist sicherlich interessant und plausibel. Sie ist jedoch definitiv keine experimentelle Tatsache und es ist höchst unangemessen, eine offene und ehrliche professionelle Debatte zu diesem Thema zu zensieren. Wenn sich herausstellen sollte, dass mathematische Modelle – wieder einmal – falsch waren, könnte es zu spät sein, den Schaden wiedergutzumachen, der im Namen der „Bekämpfung“ des Klimawandels angerichtet wurde.